lecture 8. Solving Ax = b: Row Reduced Form R

https://www.youtube.com/watch?v=9Q1q7s1jTzU&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=9 

이번 시간에는 Ax=b를 풀어볼 것이다.

\(A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2\\ 
 2& 4 &6  &8 \\ 
3 & 6 & 8 & 10
\end{bmatrix}\)이라고 하자. 우선 [A b] 형태의 augmented matrix 형태로 만든다.

그 후 elimination을 한다.

여기서 3번째 row는 \(b_{3}-b_{2}-b_{1} = 0\)이다.

잠시 b가 어떤 조건일 때 해가 있는지 알아보자.

1. Ax=b is solvable when b is in C(A)

2. If a comination of rows of A gives zero row, then same combination of entries of b must give zero.

이 2가지 조건을 만족하면 Ax=b는 해를 갖는다.

 

Ax=b를 이어서 풀어보자. elimination까지 한 이후에는 아래의 과정을 거친다.

1. particular solution을 구한다. 일반적으로 free variables는 zero로 하고 solve Ax=b for pivot variables를 하면 particular solution을 구한다.

2. null space를 구한다.

3. particular solution과 null space를 구한 것이 해가 된다. \((x = x_p+x_n)\)

 

particular solution에 null space를 더해도 b에는 영향을 주지 않기 때문에 이 둘을 더한 것이 해가 되는 것이다.

그래서 Ax=b의 해는 

이렇게 된다. complete solution을 보면 particular solution에는 c를 곱하지 않았다. 이는 x에 c가 곱해지면 Ax의 값이 c 만큼 커져  Ax=b가 성립하지 않기 때문이다. 하지만 null space에서는 우변이 0이기 때문에 c를 곱해도 되는 것이다.

 

m by n matrix of rank r이 있다고 하자. rank가 행이나 열의 개수 보다 클 수는 없기 때문에 r은 항상 m, n 보다 작거나 같다.

1. full column rank

full column rank이라면 r=n이 될 것이다. 이렇게 되면 free variable이 생기지 않기 때문에 null space는 오직 zero vector 하나만 있다. 이 경우 Ax=b를 풀게 되었을 때 해가 \(x=x_p\)가 된다. 따라서 full rank인 경우 해가 존재하지 않거나, 존재하면 1개의 unique solution을 갖는다.

 

2.full row rank

full row rank이면 r=m이다. 이 경우 zero row가 생기지 않고 모든 b에 대해 Ax=b의 해를 얻을 수 있다. 그리고 n-r의 free variable이 생긴다. r=m이기 때문에 n-m이 free variable인 것과 동일한 의미이다.

 

3. r=m=n

square matrix에서는 r=m=n이 가능하다. 이것의 reduced row echelon form은 identity matrix이고 null space는 zero vector이고, Ax=b를 풀기 위한 b의 조건은 없다. full column rank와 full row rank의 특성을 모두 갖는 것이다.

rank는 solution 개수에 대한 정보를 준다.