lecture 9. Independence, Basis, and Dimension

https://www.youtube.com/watch?v=yjBerM5jWsc&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=10 

Independence

independence의 정의는 vectors \(x_1, x_2, ... , x_n\) are independent if no combination gives zero vector (except zero combination, all \((c_i = 0)\) 이다. 이것은 이렇게 쓸 수도 있다. When \(v_1, ... v_n\) are columns of A, they are independent if nullspace of A is zero vector. they are dependent if Ac=0 for some nonzero c. lecture 8에서 했던 내용을 사용해 보면 idependent 할 때는 null space가 zero vector이므로 rank는 n 이고 dependent 할 때는 rank가 n보다 작다는 것을 알 수 있다.

 

Span

vectors \(v_1, ... v_l\) span a space means: the space consists of all combinations of those vectors. span 하는 것은 column space에서 했던 것과 같다. 그래서 matrix의 column은 span column space라고 할 수 있다. span은 vector의 모든 linear combination을 공간에 넣는 것을 표현하는 말인 것이다.

 

Basis

basis for a space is a sequence of vectors \(v_1, ... v_d\) with two properteis.

1. They are independent

2. They span the space

 

\(R^n\)에서는 n vectors give basis if the n by n matrix with those columns is invertible.

 

Dimension

동일한 space를 span하는 모든 basis는 모두 같은 수의 vector를 갖는다. 그리고 이러한 vector의 개수는 dimension이라고 한다. 

$$A=\begin{bmatrix}
1 &2  &3  & 1\\ 
 1&1  & 2 & 1\\ 
 1&2  &  3&1 
\end{bmatrix}$$

이런 matrix의 column vector들을 보자. 이것들은 C(A)를 생성할 것이다. 그렇다고 column vector들이 basis가 되는 것은 아니다. C(A)를 span하긴 하지만 dependent하기 때문이다. pivot column은 column 1, 2이고 이것이 결국 basis이다. 여기서 주목할만한 내용이 나온다. pivot column의 수는 rank와 같고, rank는 C(A)의 demension과 같다.

이제 A의 nullspace를 보자. free column은 3, 4번째 column이고 이것들은 pivot column들의 linear combination으로 이루어져 있다. 3번째 column과 4번째 column이 각각 pivot column들의 어떤 combination으로 이루어지는지 확인하며 special solution을 구한다.

$$N(A)=\begin{bmatrix}
-1\\ 
-1\\ 
1\\ 
0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1\\ 
0\\ 
0\\ 
1
\end{bmatrix}$$

그리고 이것의 null space의 basis가 된다. null space의 dimension은 2이고 free variable의 수와 같다. m by n matrix에서 pivot column이 r이면 free column의 수는 n-r이고 이것이 null space의 dimension이다.