lecture 6. Column Space and Nullspace

https://www.youtube.com/watch?v=8o5Cmfpeo6g&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=7 

\(\mathbf{subspace}\)

subspace S, T가 있을 때 S와 T의 교집합도 subspace가 된다. S, T의 교집합에 벡터 v, w가 있다고 하자. 그러면 이 둘의 linear combination은 모두 S, T의 교집합에 속하게 된다. 교집합을 사용해 작은 subspace를 하나 더 만든 것이라고 할 수 있는 것이다.

"Ax=b가 every b에 대해 solution을 갖는가?" 라는 질문에 대해서 정답은 "NO"이다. 만약 미지수의 개수가 방정식의 수보다 적은 경우 해를 구할 수 없는 경우도 있기 때문이다. 그럼 이 경우 b가 어떤 조건을 갖춰야 해가 있을까. 정답은 Ax=b에서 b가 A의 column space에 속해 있어야 하는 것이다. b가 column space에 속해 있지 않으면 어떠한 linear combination으로도 만들 수 없기 때문에 Ax=b의 해를 구할 수 없게 된다.

 

\(\mathbf{nullspace}\)

nullspace of A는 Ax=0을 만드는 모든 x의 해를 의미하며 N(A)로 표기한다.

\(A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2\\ 
2 & 1 & 3\\ 
3 & 1  & 4\\ 
4 & 1  & 5
\end{bmatrix}\)일 때 \(x=c\begin{bmatrix}
1\\
1\\
-1
\end{bmatrix}\)가 nullspace가 된다. A는 \(R^4\)에 속해 있지만 x는 \(R^3\)이기 때문에 nullspace는 \(R^3\)에서 직선을 형성한다.

nullspace는 항상 subspace인데 이것의 이유는 간단하다. v, w가 nullspace에 있다면 이들의 linear combination 또한 nullspace에 있기 때문이다. distributive law에 의해 \(A(v+w) = Av+Aw = 0\)이라서 linear combination이 항상 nullspace에 존재한다는 것을 확인할 수 있다.