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lecture 33. Left and Right Inverses; Pseudoinverse선형대수학 2023. 3. 1. 02:39
https://www.youtube.com/watch?v=Go2aLo7ZOlU&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=35 앞에서 했던 inverse matrix를 정리해본다. 이때는 양쪽 방향으로 계산해도 모두 가능한 상황이다. 1. left inverse 이때는 full column rank를 가질 때이다. 그래서 columns는 모두 independent하며 null space는 zero vector만 가능하다. 그리고 Ax=b에 대한 solution이 없거나 1개만 존재한다. \(A^TA\)는 n by n symmetric matrix가 되고 inverse matrix를 가질 수 있다. 이 식은 오직 A의 한쪽 방향에서만 inverse matrix가 되며 이것을 \(A^{-1}\)의..
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lecture 31. Change of Basis; Image Compression선형대수학 2023. 2. 28. 17:51
https://www.youtube.com/watch?v=0h43aV4aH7I&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=33 이번 강의는 change of basis를 다룰 것이며 이것은 이미지 압축에서 활용된다. 1. image compression 이미지는 pixel로 이루어져 있다. 각 pixel은 gray-scale을 알려주며 0부터 255까지이다. 이미지가 512x512라면 pixel은 \(512^2\)만큼 있다. 이미지를 1개의 vector로 표현하면 길이는 512x512이다. 만약 컬러 이미지라면 R,G,B를 구분해야하기 때문에 길이가 3배가 된다. 이것은 거대한 정보이기 때문에 압축을 하고 표준압축은 JPEG이다. 이것은 change of basis이다. basis를 표현하는 ..
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lecture 30. Linear Transformations and Their Matrices선형대수학 2023. 2. 28. 11:48
https://www.youtube.com/watch?v=Ts3o2I8_Mxc&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=32 대부분의 선형대수 과목은 linear transformation으로 시작하지만 우리는 이제 다루어 볼 것이다. 1. linear transformation T는 linear transformation을 진행하는 함수라고 이해하면 된다. 위는 linear transformation에 대한 규칙이다. 그리고 linear transformation에서는 T(0)=0. 아래의 예제를 보자. v를 2배 한다면 T(v)도 2배가 되고, 만약 vector w를 추가한다면 T(v+w)=T(v)+T(w)가 성립하기 때문에 linear 하다. 다음 예제를 보자. matrix A와 vec..
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lecture 29. Singular Value Decomposition선형대수학 2023. 2. 27. 23:32
https://www.youtube.com/watch?v=TX_vooSnhm8&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=31 1. singular value decomposition singular value decomposition은 SVD로 줄여서 말한다. 이것은 마지막으로 배울 factorization이다. 이것의 factor는 orthogonal matrix, diagonal matrix, orthogonal matrix이다. symmetric positive definite에서 했던 \(A=A\Lambda Q^T\)가 이런 형태이다. 이러한 형태는 어떻게 생기게 되었는지 알아보자. row space에 orthogonal vector \(v_1\), \(v_2\)가 있고 column ..
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lecture 28. Similar Matrices and Jordan Form선형대수학 2023. 2. 26. 11:25
https://www.youtube.com/watch?v=TSdXJw83kyA&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=30 1. positive definite matrix A가 positive definite 이라고 하자. A의 inverse matrix의 eigenvalue는 모두 \(1/\lambda\)형태이다. 이때 A의 eigenvalue는 모두 양수이므로 A의 inverse matrix의 eigenvalue도 모두 양수가 되기 때문에 A의 inverse matrix도 positive definite가 된다. A, B가 positive definte라면 A+B도 positive definite이다. \(x^TAx>0\), \(x^TBx>0\)이므로 \(x^T(A+B)x\)도 0보다..
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lecture 27. Positive Definite Matrices and Minima선형대수학 2023. 2. 25. 14:39
https://www.youtube.com/watch?v=vF7eyJ2g3kU&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=29 1. posiive definite matrix 아래는 positive definite matrix를 판별하는 방법이다. 이렇게 4가지 방식으로 확인할 수 있다. 만약 A의 determinant가 0이라면 이때는 positive semi-definite이다. poistive semi-definite이라면 0인 eigenvalue가 생기고 singular이기 때문에 pivot도 1개만 나오게 된다. 그리고 \(x^TAx\)를 하면 이런 형태의 2차식이 나오는데 이를 quadratic form이라고 한다. 이것이 0보다 큰지 알아야 하는데 이것은 그래프를 그려보며 알 수 ..
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lecture 26. Complex Matrices; Fast Fourier Transform선형대수학 2023. 2. 25. 11:53
https://www.youtube.com/watch?v=M0Sa8fLOajA&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=28 1. complex matrix complex number로 구성된 vector z가 있다. 이것은 \(R^n\) 대신 complex space 라는 의미의 \(C^n\)에 속한다. z의 length는 \(z^Tz\)로 구할 수 있을 것이라고 생각할 수 있다. 하지만 이는 옳지 않다. 예를 들어 z=(1,i)인 경우 length가 0이 되기 때문이다. 그래서 complex number의 경우 length는 \(\bar{z}^Tz\)로 구한다. \(\bar{z}^Tz\) 대신 \(z^Hz\)로 쓰며 H는 hermitian이라고 읽는다. 즉, complex matrix의 ..