lecture 5. Transposes, Permutations, Spaces R^n

https://www.youtube.com/watch?v=JibVXBElKL0&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=6 

 

이전 강의에서는 A=LU로 factorization을 진행했다. 이전 강의 후반부에 나온 permutation을 사용하면 row exchange를 포함한 식으로 표현할 수 있다.

$$PA=LU$$

이는 모든 invertible A에 대해 성립한다. 그리고 우리는 P (permutation matrix) is identity matrix of reordered rows라고 생각할 수 있다.

 

다음은 transpose다. transpose는 행과 열의 위치를 바꾸는 것을 의미하며 (\((A^{T})_{ij} = (A)_{ji}\)) transpose해도 동일한 matrix가 되는 것을 symmetric matrices (\(A^T = A\))라고 한다. symmetric 하지 않은 matrix도 그것의 transpose matrix를 곱하면 symmetric하게 할 수 있다. 이것이 성립하는 이유는 직접 transpose 해보면 알 수 있다.

$$A^{T}A = (A^{T}A)^{T}$$

 

이제 vector space로 넘어가자. vector space는 서로 덧셈 곱셈 등의 계산을 할 수 있는 vector들이 모여 있는 것이라고 할 수 있다. 예시로 \(R^2\)를 보자. 이것은 \(\begin{bmatrix}
1\\ 
2
\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}
0\\ 
0
\end{bmatrix}\) 등의 모든 2-dimension vectors의 모임이고 x-y plane을 형성한다. \(R^2\)의 vector끼리는 어떠한 연산을 해도 \(R^2\)에 속한다.

동일한 방식으로 \(R^n\)은 all vecotrs with n real components으로 생각할 수 있다.

vector space에는 중요한 규칙이 있다. vector space의 vector들의 linear combination 또한 vector space에 속해야 하는 것으로 만약 이것이 지켜지지 않는다면 vector space로 볼 수 없다.

subspace는 vector space 안에 존재하는 작은 vecotr space를 의미한다.

\(R^2\)의 subspace

위의 사진에 있는 직선은 \(R^2\)에 속해 있고 직선 안의 vector들의 linear combination은 직선에 속하게 된다. 따라서 이 직선은 subspace of \(R^2\)가 되는 것이다. 그러나 \(R^2\) 안의 직선이라고 해서 모두 subspace가 되는 것은 아니다. 0을 곱해도 subspace 안에 존재해야 하기 때문에 원점을 포함하지 않는 직선은 subspace가 될 수 없다. 그리고 이 부분에서 모든 vector space는 원점을 포함해야 한다는 것을 알 수 있다. 이런 점들을 고려하면 \(R^2\)의 subspace는 3종류로 분류할 수 있다.

vector space 안의 column들의 linear combination으로 이루어지는 subspace를 column space라고 한다. 예를 들어 \(A = \begin{bmatrix}
1&3\\ 
2&3\\ 
4&1
\end{bmatrix}\)라는 matrix를 생각해보자. 각 column은 3개의 원소로 이루어져 있으므로 \(R^3\)에 속한다는 것을 알 수 있다. 그리고 \(\begin{bmatrix}
1\\ 
2\\ 
4
\end{bmatrix}\)과 \(\begin{bmatrix}
3\\ 
3\\ 
1
\end{bmatrix}\)의 linear combination으로 평면을 만들 수 있고 이는 subspace가 된다. 이를 A에 대한 column space라는 뜻으로 C(A)라고 한다.