lecture 11. Matrix Spaces; Rank 1; Small World Graphs

https://www.youtube.com/watch?v=2IdtqGM6KWU&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=12 

저번 시간에 말했던 3X3 행렬의 vector space를 이어서 다루어 보자. 이 vector space를 M이라고 하면 M의 subspace에 symmetric matrix, upper triangular matrix가 있다. M의 basis는 모두 3X3 matrix가 된다. 3X3 matrix에는 총 9개의 숫자가 들어갈 수 있고 9 dimensional space이다.

이러한 9개의 행렬 standard basis이다.

symmetric matrix는 대칭을 유지하기 위해 하나의 숫자를 정하면 대칭인 곳의 숫자도 자동적으로 정해지게 된다. 따라서 선택할 수 있는 숫자의 개수는 6개 이며 dimension은 6 이다. upper triangular matrix는 칸 3의 숫자가 0으로 고정되어 있기 때문에 선택할 수 있는 숫자는 6개이며 dimension은 6이다. symmetric matrix와 upper triangular matrix의 교집합인 diagnoal matrix의 dimension은 이 둘의 교집합과 같다. 이것의 dimension은 3이다. symmetric matrix와 upper triangular matrix의 합도 subspace로 볼 수 있다. 이 둘의 합은 모든 3X3 matrix이고 이것의 dimension은 6이다. 여기서 공식 하나를 찾을 수 있다. 2개의 subspace의 dimension의 합은 이것들의 교집합과 sum의 dimension의 합과 같다는 것이다. 이 경우 symmetric matrix와 upper triangular matrix의 dimension은 둘다 6이고, diagonal matrix와 3X3 matrix의 dimension은 각각 3, 9이다. 6+6=3+9로 공식이 성립한다.

 

vector를 포함하지 않는 vector space의 예를 보자.

이 방정식은 Ax=0 형태로 우리는 null space를 찾을 수 있다. 이 방정식의 해는 \(cos(x), sin(x)\) 이다. 그리고 complete solution은 \(y = c_1cos(x)+c_2sin(x)\)이다. 이것은 vector space이다. 이 vector space의 basis와 dimension은 무엇일까? basis는 \(cos(x), sin(x)\)이다. 이것은 Ax=0의 special solution으로 볼 수 있다. 그리고 basis는 2개 이므로 dimension은 2이다. 비록 \(cos(x), sin(x)\)가 vector 처럼 보이지 않아도 덧셈, 곱셈, combination을 모두 할 수 있으므로 vector라고 할 수 있다.

 

다시 rank로 돌아가보자. 그리고 rank가 1인 matrix를 중점적으로 살펴보자.

이것은 rank가 1인 matrix이고

이렇게 표현할 수 있다. 여기서 알아야 하는 것은 모든 rank가 1인 matrix는 some column과 some row의 곱의 형태로 나타낼 수 있다는 점이다. rank 1 matrix는 모든 matrix의 buildoing block과 같다. 만약, rank가 4인 5X17 matrix가 있을 때, 이것은 rank 1 matrix 4개의 조합으로 만들 수 있다.

 

그런데 새로운 질문이 떠오른다. subset of rank 4 matrices가 subspace일까? M을 모든 5X17 matrices라고 하자. matrix A와 B의 합의 rank는 A의 rank와 B의 rank의 합 보다 작다. 그래서 rank 4인 matrix를 서로 더해도 rank가 8이하라는 것을 알 수는 있지만 정확히 얼마가 되는지는 알 수 없다. 질문을 subset of rank 1 matrices로 바꿔보자. 이 둘의 합은 보통 rank 2 일 것이다. 그래서 이것은 subspace가 아니다. (아마 더하면서 rank가 바뀌기 때문에 subspace가 아닌듯)

 

subspace에 대한 또 다른 질문이 있다.

이런 matrix V가 있을 때, \(R^4\) 안의 모든 V는 \(v_1+v_2+v_3+v_4 = 0\)을 만족한다. 그럼 이것이 subspace인가? 이러한 V들의 linear combination을 해도 모두 해당 space에 속하므로 subspace가 맞다. 이 subspace를 S라고 하자. 그렇다면 S의 dimension과 basis는 무엇인가. 우선 dimension은 3이다. 왜냐하면 S는 \(A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix}\)의 null space이기 때문이다. S는 A의 null space로 볼 수 있으며, A의 rank는 1이고 column의 개수는 4므로 dimension은 3이 되는 것이다. A의 pivot column은 첫번째 column이므로 basis는 아래와 같다.

이 상황을 4 fundamental subspace로 볼 수도 있다. row space는 1 demension이고 A의 row의 multiple이 된다. A는 1개의 column 밖에 없으므로 column space는 \(R^1\)의 subspace이며 column space는 A의 첫번째 column의 all multiple이다. 따라서 column space는 \(R^1\)이다. 마지막으로 \(N(A^T)\)을 보자. \(A^T\)를 0으로 만드는 것은 0밖에 없으므로 \(N(A^T)={0}\). \(N(A^T)\)의 dimension은 0이다. \(N(A^T)\)는 zero space로 점 1개만을 갖고 있기 때문에 0 demension이 되는 것이다.

 

다음 시간에는 graph에 대해 배울 것이다. graph는 node와 edge로 이루어져 있으며, edge는 node와 node 사이를 연결시키는 것이다.