lecture 1

mit의 gilbert strang 교수의 선형대수학 강의를 들었다.

 

https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c&list=PL49CF3715CB9EF31D&index=1 

 

$$2x-y=0$$

$$-x+2y=3$$

이러한 연립방정식을 생각해 보자.

이것을 "row picture" 또는 "column picure"로 표현할 수 있다.

 

우선 "row picture"로 표현하면 아래와 같다.

$$\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0\\
3\\
\end{bmatrix}$$

 

이는 Ax = b 꼴로 A는 matrix of coefficients, x는 vector of unknowns, b는 vector이다.

이는 x, y축으로 이루어진 2차원 그래프에 표기할 수 있다.

그리고 이것의 교점이 미지수의 해가 된다.

 

위의 방정식을 "column picture"로 표현하면 아래와 같다.

$$x\begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0\\
3\\
\end{bmatrix}$$

 

이것은 2개의 벡터의 linear combination이며 이 경우에서는 첫번째 벡터 1개와 두번째 벡터 2개의 결합으로 b를 얻을 수 있다.

 

이제 3차원으로 생각해보자.

$$2x-y=0$$

$$-x+2y-z=-1$$

$$-3y+4z=4$$

 

위의 식은 아래와 같이 row picture과 column picture로 나타낼 수 있다.

$$\begin{bmatrix}
 2& -1 & 0 \\
 -1& 2 & -1 \\
 0& -3 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 x\\
 y\\
 z\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
-1 \\
4\\
\end{bmatrix}$$

$$x\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
0\\
\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}
 -1\\
 2\\
 -3\\
\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}
0 \\
-1\\
4 \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
-1 \\
4\\
\end{bmatrix}$$

 

마지막으로 "b가 어떠한 값이 되어도 Ax=b의 해를 구할수 있나?" 또는 "column의 linear combination으로 N-dimension을 채울 수 있나?"라는 질문을 고려해야 한다.

만약 3개 이상의 벡터가 동일한 평면에 위치한다면 불가능하지만 이러한 경우가 아니라면 가능하다. 앞서 예시로 살펴본 3차원을 예시로 본다면 3개의 벡터가 모두 하나의 평면 위에 존재하지 않기 때문에 가능하다는 결론을 얻을 수 있다.