lecture 30. Linear Transformations and Their Matrices

https://www.youtube.com/watch?v=Ts3o2I8_Mxc&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=32 

 

대부분의 선형대수 과목은 linear transformation으로 시작하지만 우리는 이제 다루어 볼 것이다.

 

1. linear transformation

 

T는 linear transformation을 진행하는 함수라고 이해하면 된다. 위는 linear transformation에 대한 규칙이다. 그리고 linear transformation에서는 T(0)=0. 아래의 예제를 보자.

v를 2배 한다면 T(v)도 2배가 되고, 만약 vector w를 추가한다면 T(v+w)=T(v)+T(w)가 성립하기 때문에 linear 하다.

다음 예제를 보자.

matrix A와 vector를 곱하는 것도 linear transformation의 규칙이 모두 성립하기 때문에 linear 하다.

다음 예제를 보자.

\(R^3\)에서 \(R^2\)로 가는 linear transformation을 한다. 이때의 input은 v, output은 T(v)이다. A는 2 by 3 matrix가 되어야 한다.

T(v)가 모든 input에 대해 어떻게 작동하는지 알기 위해 얼마나 많은 정보가 필요할까? 정답은 모든 basis에 대한 정보가 필요하다. basis에 대한 정보를 알게된 후에는 나머지 vector들에 대한 것은 basis의 linear combination으로 알 수 있기 때문이다.

vector \(V=c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n\)으로 쓸 수 있으며 c는 V의 좌표가 된다. coordinates come from a basis이다. 

이렇게 standard basis를 사용하면 좌표가 3,2,4가 된다. 만약 이것이 아니라 eigenvector를 basis로 사용한다면 좌표도 변경될 것이다.

input이 \(v_1, v_2,...,v_n\)으로 \(R^n\)에 있으며 output은 \(w_1, w_2,...,w_m\)으로 \(R^m\)에 있다고 하자. \(v_1, v_2\)를 projection을 하고 그 결과는 \(v_1,0\)이라고 하자. 

이런 형태의 A를 구할 수 있다. 이 예제에서 input과 output은 projection에 대한 eigenvector이며 A는 eigenvalue로 구성된 digonal matrix이다. 여기서 eigenvector를 basis로 하면 A는 eigenvalue로 구성된 digonal matrix라는 것을 알 수 있다.

아래의 경우는 eigenvector를 basis로 사용하지 않고 standard basis를 사용했기 때문에 diagonal matrix가 아니다.

basis가 주어졌을 때, 각 input에 transformation을 적용하며 A를 찾을 수 있다.

마지막 예제를 보자.

위의 상황은 미분을 하는 상황이다. input이 주어지고 미분을 하여 output을 구했다. 이제 A를 구할 수 있다. input과 output을 보고 적절한 숫자를 찾아 A를 완성한다.